《数列》教学设计

重庆市渝西中学 喻永明

教学目标

1．知识目标：理解数列概念，了解数列和函数之间的关系；理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；会根据数列的前几项写出简单数列的一个通项公式.

2．能力目标：培养学生从特殊到一般的数学思想和数学猜想的勇气和能力；培养学生通过观察、归纳、类比、联想等方法发现规律的能力．

3．情感目标：让学生在民主、和谐的师生互动中感受学习的乐趣.

教学重点

1．理解数列概念； 2．通项公式及其运用．

教学难点

根据一些简单数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式．

教学方法

启发式教学法.

教具准备

多媒体课件.

教学过程

一. 新课引入

师：我们已经学过了有关映射与函数的知识，现在进入第三章，开始对数列的研究。那么，什么是数列呢？我们先来回顾一支童谣：一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；……

二、讲授新课

多媒体展示五个问题情景后，再展示以下七列数.

师：观察这些例子，看看它们有何共同特点？

（启发学生发现数列定义）

生：归纳、总结上述例子共同特点：①均是一列数；

②有一定次序.

师：引出数列及有关定义.

（一）定义

1． 数列：按一定次序排列的一列数叫做数列；

2． 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）。第2项，…，第n项…。如：上述例子均是数列，在第⑤中：“1”是这个数列的第1项（或首项）“32”是这个数列的第6项.

3． 数列的一般形式： ，或简记为 ，其中 是数列的第n项.

生：综合上述例子，理解数列及项的定义.

师：数列的项与项数相同吗？举例说明.

生：数列的项与项数不同.如：例④中，这是一个数列，它的首项是“15”，而“16”是这个数列的第“3”项，等等。

师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列③，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

师：看来，这个数列的每一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系.

即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的每一项.

生：结合上述其他例子，练习找其对应关系.

如：数列①： =n(嘴) 数列②： ＝2n（眼） 数列③： ＝4n（腿）

数列⑤：a_n＝2^n-1 数列⑥：a_n＝10n 数列⑦：a_n＝0.84^n-1

4．通项公式：如果数列{a_n}的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

5．数列的函数意义

师：若将 中的n用x替换，就是函数f(x) ＝2^x－¹，投影展示其图象；然后投影展示其定义域为正整数集N 的图象（板书点的坐标）；最后归纳出：一般地，当x∈N*时，函数f(n) 的解析式就是数列{an}的通项公式，即an ＝ f(n) ( x∈ N*) .

师：对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象。看来，数列也可根据其通项公式来函出其对应图象，下面同学们练习画数列①②的图象。

生：根据通项公式画出数列①，②的图象，并总结其特点：它们都是一群弧立的点.

师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N （或它的有限子集 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

6．数列的分类

有穷数列：项数有限的数列.如：15，5，16，16，28，32

无穷数列：项数无限的数列.如：1，0.84，0.84²，0.84³，…

（二）例题讲解

例1：根据下面数列 的通项公式，写出前5项：

（1）

师：（启发学生回答）只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项。

解：（1）

(2)

（三）课堂练习1

生：思考课本P₁₀₈1，2后，板演练习

师：提问并根据学生回答和板演练习情况评析.

例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7； （2）

（3）

分析：

（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1

↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4

∴ ；

思路归纳：根据数列的前有限项写数列的一个通项公式，常用观察法，主要观察数列特征：项 与项数n之间的内在联系.

（四）课堂练习2

生：思考课本P₁₀₈练习4

师：提问并根据学生回答进行评析.

（2）序号：1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

项分母： 2=1 1 3=2 1 4=3 1 5=4 1

↓ ↓ ↓ ↓

项分子： 2²-1 3²-1 4²-1 5²-1

∴ ；

思路归纳：对于分式型的数列，猜想通项时主要从三个方面观察分析：①分析数列的分母与项数n之间的内在联系；②分析数列的分子与项数n之间的内在联系；③分析数列的分子与分母之间的内在联系.

（3）序号

↓ ↓ ↓ ↓

∴

思路归纳：对于各项正负相间的数列通项符号的猜想：可用(－1)ⁿ或(－1)^n＋1来调节.主要有下面两种形式：1，－1，1，－1，…，其符号可用(－1)^n＋1调节；－1，1，－1，1，…，其符号可用(－1)ⁿ调节.

（五）课堂练习3

生：思考课本P₁₀₈练习3

师：提问并根据学生回答进行评析.

（六）课堂小结

师：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。

（七）课后作业

1.课本P₁₁₀习题3.1 1，2

2．预习内容：课本P₁₁₂～P₁₃

预习提纲：①什么叫数列的递推公式？

②递推公式与通项公式有什么异同点？

板书设计